ベクトル その8 -クロス積-


外積
ドット積のほかにベクトルではもうひとつの掛け算の方法がある。
「クロス積」または「外積」として知られている。
クロス積はa \times bと表記することからこう呼ばれる。
3Dベクトルのみに適用できる。
また、ドット積とは違い、可換ではない。

公式:\left[  \begin{array}{c}  x_1\\  y_1\\  z_1  \end{array}  \right]  \times  \left[  \begin{array}{c}  x_1\\  y_1\\  z_1  \end{array}  \right]  =  \left[  \begin{array}{c}  y_1 z_2 - z_1 y_2\\  z_1 x_2 - x_x z_2\\  x_1 y_2 - y_1 x_2  \end{array}  \right]

例:
\left[  \begin{array}{c}  4\\  1\\  9  \end{array}  \right]  \times  \left[  \begin{array}{c}  -3\\  7\\  2  \end{array}  \right]  =  \left[  \begin{array}{c}  (1)(2) - (9)(7)\\  (9)(-3) - (4)(2)\\  (4)(7) - (1)(-3)  \end{array}  \right]  =  \left[  \begin{array}{c}  2 - 63\\  -27 - 8\\  28 - (-3)  \end{array}  \right]  =  \left[  \begin{array}{c}  -61\\  -35\\  31  \end{array}  \right]
クロス積の計算は足し算や引き算の優先順位は変わらないが、ドット積とクロス積を組み合わせた場合はクロス積が優先的に計算される。
a \cdot b \times c = a \cdot (b \times c)

クロス積は各々のベクトルに垂直なベクトルとなる。

上記の図ではベクトルa、bは同じ平面上にあり、その平面に垂直なベクトルとなる。
また、a \times bの長さははベクトルa、bの大きさにベクトルa、bなす角のsinを掛けたものと等しくなる。
公式:\|a \times b\| = \|a\|\|b\|sin\theta

aとbが平行、またはどちらかがゼロベクトルならばa \times b = 0となる。
クロス積はゼロベクトルを全てのベクトルに平行と見なす。
また、a \times bはaとbに平行であるもののこちらへ向かってくるベクトルなのか、遠ざかって行くベクトルなのかで2つの可能性がある。

上記は右手系座標系である。
図のようにベクトルaとbを連結したときに反時計回りをする場合、a \times bはこちらへ向かっていることになる。
逆に、時計回りになった場合、遠ざかっている。
また、左手座標系では時計回りの時近づき、反時計回りの時に遠ざかることになる。

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