ベクトル その7 -ベクトルの投影-


2つのベクトルvとnが与えられている場合、nに平行な線分v_{\|}と、nに垂直な線分v_\perpに分解することが出来る。

よって、v = v_\perp + v_\|(式1)となる。
v_\|はnの要素中の\displaystyle\frac{\|v_\|\|}{\|n\|}であるから、
\displaystyle{v_\| = n\frac{\|v_\|\|}{\|n\|}}(式2)であると言える。
また、
\displaystyle{cos\theta = \frac{\|v_\|\|}{\|v\|}}(式3)
であるため、
\displaystyle{cos\theta\|v\| = \|v_\|\|}(式4)
と言える。

式2と式4より
\displaystyle{v_\| = n\frac{cos\theta\|v\|}{\|n\|}}(式5)
ドット積の回で使った公式a \cdot b = \|a\|\|b\|cos\thetaを適用すると
  \begin{array}{ll}  v_\| &= \displaystyle{n\frac{\|v\|cos\theta}{\|n\|}}\\[2ex]  &= \displaystyle{n\frac{\|v\|\|n\|cos\theta}{\|n\|^2}}\\[2ex]  &= \displaystyle{n\frac{v \cdot n}{\|n\|^2}}\\[2ex]  \end{array}(式6)
となり、vの底辺の要素を求めることが出来る。

また、式1から
\begin{array}{ll}  v_\perp + v_\| &= v\\[2ex]  v_\perp &= v - v_\|\\[2ex]  &= v - \displaystyle{n\frac{v \cdot n}{\|n\|^2}}  \end{array}
となり、vの高さ要素を求めることが出来る。

例:v = [5, 3], n = [3, 0]の時
\begin{array}{lll}  v_\| &= \displaystyle{n\frac{v \cdot n}{\|n\|^2}} &= \displaystyle{[3, 0]\frac{[5, 3]\cdot[3, 0]}{\|[3, 0]\|^2}}\\[2ex]  &= \displaystyle{[3, 0]\frac{(5)(3) + (3)(0)}{\sqrt{3^2}^2}} &= \displaystyle{[3, 0]\frac{15}{9}}\\[2ex]  &= \displaystyle{[3, 0]\frac{5}{3}} &= \displaystyle{[\frac{3 \times 5}{3}, 0]}\\[2ex]  &= \displaystyle{[5, 0]}  \end{array}
\begin{array}{lll}  v_\perp &= v - \displaystyle{n\frac{v \cdot n}{\|n\|^2}} &= [5, 3] - \displaystyle{[3, 0]\frac{[5, 3]\cdot[3, 0]}{\|[3, 0]\|^2}}\\[2ex]  &= [5, 3] - [5, 0] &= [0, 3]  \end{array}

例:v = [5, 3], n = [4, 2]の時
\begin{array}{lll}  v_\| &= \displaystyle{n\frac{v \cdot n}{\|n\|^2}} &= \displaystyle{[4, 2]\frac{[5, 3]\cdot[4, 2]}{\|[4, 2]\|^2}}\\[2ex]  &= \displaystyle{[4, 2]\frac{(5)(4) + (3)(2)}{\sqrt{4^2 + 2^2}^2}} &= \displaystyle{[4, 2]\frac{20 + 6}{16 + 4}}\\[2ex]  &= \displaystyle{[4, 2]\frac{26}{20}} &= \displaystyle{[4, 2]\frac{13}{10}}\\[2ex]  &= \displaystyle{[\frac{4 \times 13}{10}, \frac{2 \times 13}{10}]} &= \displaystyle{[5.2, 2.6]}  \end{array}
\begin{array}{lll}  v_\perp &= v - \displaystyle{n\frac{v \cdot n}{\|n\|^2}} &= [5, 3] - \displaystyle{[4, 2]\frac{[5, 3]\cdot[4, 2]}{\|[4, 2]\|^2}}\\[2ex]  &= [5, 3] - [5.2, 2.6] &= [-0.2, 0.4]  \end{array}

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